カーペットフラクタルの定義と生成法

ジェネレータ$B$として$m \times n$の2次元配列を設定する． 各要素$a_{ij}$には$0$か$1$が割り当てられる．

\begin{eqnarray} B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{eqnarray}

2次元配列の各要素に以下の置換を行う．

\begin{eqnarray} \left\{ 0 \rightarrow 0 B , 1 \rightarrow B \right\} \end{eqnarray}

$0 B$はすなわち$m \times n$の$0$のみによる2次元配列である． 1回の置換操作により，要素数は横に$m$倍，縦に$n$倍になる．

この置換を初期配列$\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$を起点として順次適用し，各ステップ毎に単位正方形上に縮小してプロットした図形の極限をカーペットフラクタルと定義する．

例えば，ジェネレータを以下のように設定すると，図に示されるシェルピンスキーのカーペット$S$が生成される． なお，要素の値が$0$である点を白，$1$である点を黒としている．

\begin{eqnarray} B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} S_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} , S_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \nonumber \\ S_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \nonumber \end{eqnarray}

また，別の例としてシェルピンスキーのギャスケットの変形$G$を挙げる．

\begin{eqnarray} B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} G_0 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} , G_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} , G_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \end{eqnarray}

これらの図形は自己アフィンフラクタルのうちの限定的な集合であり， その他有名なフラクタル図形であるカントールの塵，Vicsek fractal，Hexaflake（変形）などもこの方法で生成可能である（図）．

図にカーペットフラクタルの例としてジェネレータと生成図形を示す．

カーペットフラクタルの可聴化

カーペットフラクタルの途中段階をラスタ走査によりPCM信号化することにより可聴化する図）．

例えば，節で例示したシェルピンスキーのギャスケット$G_2$は以下のような1次元信号に変換される．

$[1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]$

これはサンプル数$16$となり，サンプリング周波数$8000$[Hz]で再生すると$0.002$秒の音声出力が得られる． これでは短くて音楽的に聴こえないが，$G_{10}$では同様にして約$131$秒の音声出力が得られる．

例として，図に$P_2$から生成される波形を示す．

今回はデモプログラムとして$4 \times 4$の大きさのジェネレータを用いた置換回数$5$回，サンプリング周波数$8192$[Hz]の可聴化プログラムを作成した． 本プログラムでは$2^{16} = 65536$通りの音声信号を生成できる．

Scanned Synthesisとしてのカーペットフラクタル音楽

Max Mathewsらによって1998-2000年に開発・提唱された新しい物理モデル音源方式として，Scanned Synthesisがある[引用], [引用] ．物理モデルで決定される動的な点群を任意の曲線で走査（サンプリング）することによって音声信号を生成する手法であり，これにより，リアルタイムに減衰などの変化をする音を生成することができる． また，これに関連した音合成方式として，地表面軌道合成（Wave Terrain Synthesis，波形地表面合成とも呼ばれる）が提案されている[引用], [引用]．これは，静的な2変数関数（地表面）を任意の曲線で走査し，走査したそれぞれの点での関数値を波形値とする方式である．Scanned Synthesisでは時間的に変化する動的な物理モデルを用いるのに対し，地表面軌道合成では時間的に固定された静的な地表面を用いる．また，Scanned Synthesisでは，点群の連結が弦のように1次元的であったり格子状のように2次元的であったりと次元が自由であるのに対し，地表面軌道合成では地表面が2変数関数に限られる．

カーペットフラクタル音楽は，$0$と$1$を値としてもつフラクタル平面を，多数の並行な直線で走査（ラスタスキャン）するため，Wave Terrain Synthesisの一種ともいえる（ただし，走査経路は閉曲線ではないため厳密には異なる）．

Granular Synthesisとしてのカーペットフラクタル音楽

Granular Synthesis（細粒合成，グラニュラー合成）[引用], [引用]とは，1〜100[ms]程度の粒子（grain）を時間軸上に多数配置して音声を生成する音声合成方法である． カーペットフラクタルによる音声変調の一つとして，細粒合成の考えを基に，音声信号をジェネレータとしたカーペットおよび音声信号の生成を試みた（図）． これはサンプリング周波数$44100$[Hz]で約6秒のピアノの音声信号を一定間隔ごとに区切り，$591$[px] $\times$ $473$[px]の画像を作り，$Q$のジェネレータ（(b1)）の配置でコピーしラスタスキャンを行ったものである． 聞こえとしては，元のピアノ音がプツプツと途切れた音として4倍の長さで音色を変えながら4回鳴る，という結果が得られた． これは矩形パルスをgrainとしたGranular Synthesisといえる． 置換回数が1回のみなのでフラクタルとは言えないが，このように音声加工に応用することも可能である．

ワンライン音楽による生成

節で例示したシェルピンスキーのギャスケット$G_{10}$を， 生成コードが30文字程度のプログラムで再現できた．

(((t/1024)&(t%1024))==0)?255:0

従来のワンライン音楽でもシェルピンスキーのギャスケットが描かれるプログラムが存在するが，それは時間-振幅値での表示であり，それとは異なる．

一般のカーペットフラクタルも同様の手法でプログラムを作成できる可能性があり，ワンライン音楽上の研究として還元することができるかもしれない．