物智数（Butchi number, 平面的2進数）

概要

2進数は以下のような繰り上がり規則をもつ。

12 + 12 = 102

これを平面的に拡張して、以下のような繰り上がり規則を考える。

1
+
1
=
01
10

こうすると、例えば4は以下のように表される。

4
=
3
+
1
=
0 1
1 1
+
1
=
0 1
1 2
=
0 2
2 0
=
0 1 2
1 0 0
=
0 0 1
0 2 0
1 0 0
=
0 1 1
1 0 0
1 0 0

このようにして表される数を物智数と呼ぶ。

0から10までの物智数を以下に示す。

0=
0
1=
1
2=
0 1
1 0
3=
0 1
1 1
4=
0 1 1
1 0 0
1 0 0
5=
0 1 1
1 0 0
1 0 1
6=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
7=
0 1 1
1 0 1
1 1 1
8=
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
9=
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
10=
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0

なお、
10
や
11
11
など、自然数としては意味を持たないものも物智数として考える。

物智数ビューワー

…0
…1

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文献

4進タイル

概要

以下の繰り上がり規則を考える。

000
030
000
+
000
010
000
=
010
101
010

このような繰り上がり規則で表現されるパターンを4進タイルと呼ぶ。

なお、以下のような繰り上がり規則を適用した8-近傍8進タイルも考えられる。

000
070
000
+
000
010
000
=
111
101
111

しかしながら、この場合は複数の安定状態を確認しているため、一意的に表すことができない。

8-近傍8進タイル(512)の2つの安定状態
8進タイルにおける256(1)8進タイルにおける256(2)

4進タイルビューワー

…0
…1
…2
…3

3進タイルビューワー

…0
…1
…2


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